称心常识网时域采样定理
点击上面的“数字信号处理辅导”，订阅本微信公众号，并点击右上“┇”分享到朋友圈。进行数字信号处理系列课程（信号与系统——数字信号处理——随机信号分析——现代数字信号处理）辅导，巩固基础与进一步提高相结合。作者联系方式：
Email: 103282699@qq.com.
QQ：103282699.
提倡“我为人人，人人为我”，欢迎广大朋友提供好的资料、文章、题解和学习经验，共同学习，共同进步。
吴镇扬《数字信号处理》（第三版）
高等教育出版社，2016
采样定理的两个直观例子
王仕奎 重庆三峡学院
采样定理同时是《信号与系统》、《数字信号处理》和《通信原理》三门课程的共同内容, 其重要性可见一斑. 但是, 该定理的直观理解却不容易.
教材[1]对采样定理的表述如下:
上面是时域采样定理, 此外还有频域采样定理. 定理的证明用到较多的信号与系统专业知识.
那么, 对采样定理应该如何直观理解呢?
在上课时, 我喜欢用下面这样一个例子来类比.
有一座桥, 你用最快的速度, 也要花10分钟才能通过该桥. 桥头有个小房子, 里面有一个魔法师, 魔法师每隔6分钟探头看一下: 如果有行人往桥的对面走, 则用魔法把行人拉回这边; 反之, 则用魔法把行人送到对岸. 问如何过桥?
稍微动一下, 不难知道答案: 采用欺骗的手段, 走到一定时候, 估计魔法师要探头看, 立即掉头走, 就可以欺骗魔法师, 魔法师直接把你送到目的地.
把题目改一下: 其他都是一样的, 但是魔法师每隔4分钟看一下. 那么, 就不能欺骗魔法师了, 因为你在魔法师探头看的时候, 不会通过桥的中点, 你在桥的哪一个半段, 魔法师就把你送到哪一边的岸边.
和采样定理作类比: 魔法师隔几分钟看一次, 相当于一次采样, 比如采样周期分别是6分钟或4分钟; 而魔法师能否正确地阻止过桥, 比作信号的恢复: 正确判断即信号能恢复, 被骗则信号恢复产生失真. 根据采样定理, 只要魔法师的采样周期低于5分钟, 那么就不能欺骗他: 因为魔法师总是知道你在哪一个半段. 如果采样周期高于5分钟, 那么就可以采用欺骗的手段过桥. 魔法师采样频率的一个临界值, 即奈奎斯特频率.
上面是采样定理一个很直观的类比. 如果对一个定理仅仅懂得繁琐的数学推导, 而不能生动而直观地理解的话, 那么印象就不会很深. 下面我们再举另一个直观的例子, 说明为什么当采样频率低于信号最高频率的两倍时, 就会产生失真.
大家看电影时, 可能都有过这样的体验: 汽车明明往前开, 可是看起来车轮是往后转的, 这是为什么呢? 这和电影的帧率(即每秒曝光次数)与车轮的转速之间的相互关系有关.
如图所示一个车轮, 假设顺时针转动, 其角速度为ω. 当车轮转速较低(即ω较小时), 那么每曝光一次, A点分别到达B、C、D等点, 这时车轮的转动是正常的.
假设汽车速度很快, 即ω很大(如图大约提高到15倍), 摄像机下一次曝光时, A点转到B点, 然后依次转到C点、D点, 等等, 由于人眼的视觉暂留, 看起来就像逆时针转动了.
如果车轮转得太快, 并且不是匀速的, 那么我们就会时而看到正转, 时而看到反转.
车轮的旋转相当于一个正弦信号, 而摄像机的周期曝光相当于对正弦采样周期采样. 满足采样定理时, 一定不会看到反转的情况. 而车轮转速足够大时, 之所以可能正转, 也可能反转, 是因为发生了频谱混叠之后, 原信号和等价折叠频率信号之间的不同相位关系造成的.
教材[2]第54-55页的一个例子, 对折叠频率的产生有很好的说明.
采样定理是经典数字信号处理大厦的理论基础. 近十几年来, 也产生了其他的理论, 如压缩感知, 它表明在采样率远低于奈奎斯特采样频率时, 照样可以恢复原信号. 但是, 压缩感知有一个前提, 就是信号的稀疏性, 这里不多介绍了.
参考文献
[1] 吴大正等. 信号与现行系统分析(第4版). 北京: 高等教育出版社, 2005
[2] 吴镇扬. 数字信号处理(第三版). 北京: 高等教育出版社, 2016
长按或扫描二维码关注本公众号
