称心常识网数学发展史
数学发展史
希腊古典时期（公元前600-300年）
希腊人从古代文化中继承了大量资料，爱琴海的艾奥尼亚海岸是今天一切科学的起源。巴比伦人和埃及人从未想到过为了知识本身而去寻求知识的行为，而正是这种概念促使了“希腊的科学奇迹”的发生，这之中最惊人的进步便发生在数学上。
以泰勒斯为首的艾奥尼亚学派将几何学等知识从埃及和巴比伦带回希腊，并提出了很多命题和基本原理，建立了理性唯物看待世界的观念。“泰勒斯定理”成为第一个用数学家命名的定理。
公元前6世纪末，由于波斯的入侵，意大利和西西里岛变成了新的学术中心。建立于意大利南部的毕达哥拉斯学派把数学研究变成了一种自由教育的形式，数学变得抽象。毕达哥拉斯学派对数学发展产生了巨大影响，历时达两个世纪之久。“万物皆数”，各种现象都表现出相同的数学本质，比如音乐和行星运动。
继续的柏拉图学派则强调绝对真理的理想世界，世界更是数学化的几何化的，希望用数学取代自然界。柏拉图学院在多个方面发展了数学研究。柏拉图的学生亚里士多德却重视感性经验的重要性，他的最大贡献是将数学推理规范化和系统化，奠定了逻辑学的基础。
古典时期的希腊哲学家都认同，宇宙是按人类思维所能理解的数学规律运行的。
?
希腊亚历山大里亚时期（公元前300-600年）
亚历山大城的学者中，有三个人决定了此后数百年数学的进程：欧几里得，阿基米德与阿波罗尼奥斯。
于公元前320年由欧几里得编写的《几何原本》是欧式几何的奠基之作。欧几里得使用了公理化的方法，这一方法后来成了建立任何知识体系的典范，在两千年间被奉为必须遵守的严密思维的范例。
阿基米德被称为古代最伟大的数学家，著有《论球和圆柱》等。他的发现涉猎极广，如给出许多求几何图形重心，包括由一抛物线和其平行弦线所围成图形的重心的方法，还有采用不断分割法求椭球体、旋转抛物体等的体积，这种方法已具有积分计算的雏形。
阿波罗尼奥斯是天才的几何学家，著有《圆锥曲线论》一书，它将圆锥曲线（抛物线椭圆和双曲线）的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地。
托勒密完善了由喜帕恰斯创立的三角学，他的《天文学大成》对行星运动作出了相当精确的描述。
希腊人的目的是探索自然，除了空间几何和天文学，他们还创立了力学（杠杆）、光学（透镜）、地理学（地球周长）和流体静力学（浮力）。亚历山大艺术宫和塞拉皮斯神庙成为当时的学术中心，建立了数学和现代科学自然设计之间的紧密联系。
?
中世纪-16世纪文艺复兴
罗马时期，希腊本土的科学精神消亡殆尽。而后的基督教徒摧毁了亚历山大的塞拉皮斯神庙，穆斯林征服埃及后，最后的希腊文明随着图书的焚毁消失了。中世纪只有东罗马的君士坦丁堡留给欧洲知识的火种。
印度人和阿拉伯人在希腊人的坚实基础上发展了自己的数学。代表作花拉子密《代数学》和马哈维拉《计算精华》。中国人在商高定理、《九章算术》后沿着自己的实用精神发展着数学，达到惊人的高度，从刘徽祖冲之圆周率到秦九韶大衍术。
随着土耳其人对拜占庭的征服，文艺复兴的领袖们从西逃的希腊学者手里知道了自然是依照数学设计的。早期的文艺复兴领袖有：发明透视法的阿尔贝蒂，全能的达芬奇和精通几何的丢勒。紧接着，探索自然界的数学法则成为很虔诚的工作，上帝设计了宇宙。
希腊人的宗旨和文艺复兴的信念融汇起来，哥白尼和开普勒的工作就是证据。哥白尼的《天体运行论》（1507年）用日心说极大的简化了托勒密的地心说。开普勒的《宇宙的奥秘》（1619年）和行星三大定律，以近乎残酷的理性，从数学上简洁优美的保证了观测数据和假设的一致性。《世界的和谐》洋溢着他对上帝辉煌设计的钦佩。
伽利略通过望远镜观测木星卫星和金星相位等证实了哥白尼的日心说，他的《关于两大世界体系的对话》（1632年）表明，在数学中，人类几乎达到了知识的顶峰。他提出物理原理必须合乎实验观察的宗旨，是近代科学的先驱。
17世纪：近代数学的创立
?
1600年可能是数学史上最重要的一个世纪的开端，近代数学开启大幕。笛卡尔在此四年前出生，随后又有帕斯卡尔和费马诞生。17世纪被誉为“天才的世纪”，这三个人注定要改变整个数学面貌。在16世纪，大多数数学科目都有了具体的进展，不过新世纪的开始预告了一个更为壮观的发展。
?
在开普勒等前人的基础上，笛卡尔和费马分别发明了解析几何。代数在几何上的运用，使笛卡尔让解析几何臻于完善。1637年笛卡尔的《几何学》是论述解析几何的一部经典之作。1614年，纳皮尔对数的应用提升了计算方法，1642年，帕斯卡尔发明了机械计算机，更重要的他发展了射影几何。费马等人开始研究数论和概率论，古代极微分割方法被引人几何学，并最终导致了微积分的发明。而对于概率论最早的探索，要归功于费马和帕斯卡尔。1657年，惠更斯提出数学期望的概念，概率研究经过了漫长的历史，直到如今，仍然在吸引着众多科学家的注意力。从1637年费马提出大定理，直到1995年怀尔斯完成证明，才标志着第二个数学千年的收尾。
?
1665年，牛顿和莱布尼兹分别从运动学和几何学的角度，几乎同时创立了微积分。牛顿的《自然哲学的数学原理》开创了科学新纪元，确立了自然界依数学设计的思想，解释了行星运动、海洋潮汐、地轴岁差、月球运动，哲学家莱布尼兹则强化了这一思想。1666年，莱布尼兹《论组合的艺术》提出了数理逻辑和二进制，改进了帕斯卡尔加法器，开启了现代计算机的研究。
?
18世纪：科学的数学化
?
18世纪，牛顿的后继者们，伯努利家族、欧拉、达朗贝尔、拉格朗日、拉普拉斯等发展了微积分的技巧，常偏微分方程、微分几何、变分法、复变函数等数学分支为探索大自然提供了更加强有力的工具。18世纪是分析的世纪。
?
天文学获益最早，从三体问题的研究开始，虽然这个问题迄今没有答案。哈雷彗星回归的预言，海王星戏剧性的发现证明了数学的精确性。数学家拉普拉斯把他的全部生命贡献给了天文学，恢宏的科学巨著《天体力学》收录了18世纪全部天文学成就。拉格朗日的《分析力学》是牛顿数学方法的典范，力学完全数学化的处理与物理过程脱离联系。
?
较新的物理分支，流体弹性力学、电磁学也被定量数学化。光学这门古老的学科也被数学重塑，牛顿提出微粒说和惠更斯提出波动说。18世纪的数学大师欧拉，则第一个得到光的波动方程。伯努利和欧拉对声学和流体力学也开始了数学描述和分析。费马提出的“最小时间原理”在18世纪的光学、力学中得到了充分的理解，形成了变分法的核心。
?
相对于其他应用数学巨擘，欧拉是18世纪真正的理论数学之王。他精通当时所有数学，几乎对每个数学分支都做出了重要贡献，并于1736年创立图论和几何拓扑学。1777年，布丰研究投针问题，推动概率论的发展。1799年，蒙日《画法几何》，带领卡诺和彭塞列创立了近代几何。从数学家的角度而言，18世纪是“英雄的时代”，各路豪杰尽显威名，包括科学史上著名的伯努利家族；18世纪最顶级的数学家达朗贝尔，拉格朗日；此外还有泰勒，华林，麦克劳林，勒让德，傅里叶等等，他们为发展微积分做出了突出贡献。
?
19世纪：现代数学的诞生
?
19世纪上半叶是数学从近代向现代的过渡，伴随着分析的严格化，代数和几何则发生了根本的变革，非欧几何和非交换代数诞生了。1823年，柯西的无穷小分析赋予了微积分清楚严谨的基础，给出了微积分的现代形式。魏尔斯特拉斯进一步因实数理论、实分析和复分析被称为现代分析之父。高斯、泊松、格林、雅可比、狄利克雷、刘维尔和厄尔米特等如群星灿烂于19世纪。
?
1801年，高斯的《算术研究》奠定了现代数论的基础。1822年，傅里叶的《热的解析理论》阐述了傅里叶级数。1824年，阿贝尔证明五次和以上代数方程不存在根式解。阿贝尔方程群大大推进了椭圆函数的研究。1832年，伽罗华彻底解决了代数方程可解性问题，创立了群论，推动了代数学的深刻变革，应用于现代物理。1843年，哈密尔顿发现四元数，首次提出非交换代数的概念。1850-1855年西尔维斯特和凯莱创立了矩阵论，矩阵力学是量子力学的经典解释。1854年，布尔代数建立，这是电子学和计算机不可或缺的工具。
?
高斯和罗巴切夫斯基、鲍耶是研究非欧几何（双曲几何）的先驱。1827年，高斯的名著《曲面的一般理论》提出高斯曲率概念。1829年，罗巴切夫斯基发表最早的非欧几何论著《论几何的基础》。1854年，黎曼《关于几何基础的假说》创立了更为广泛的黎曼几何，统一了欧氏几何与非欧几何（双曲几何、双椭圆几何），并开启了现代微分几何的研究，黎曼几何引导了现代理论物理。1859提出伟大的《黎曼猜想》，沟通了数论和函数论，至今仍未解决。1868年贝尔特拉米提出伪球面双曲几何。
?
1871年，康托尔首次引进无穷集合，创立集合论。1872年，克莱因发表《埃尔朗根纲领》，试图以群论统一几何。1889年，皮亚诺建立自然数的公理系统。1898年，皮尔逊创立数理统计学。1899年，希尔伯特著《几何基础》，开创公理化方法。
?
19世纪的数学发生了根本变革，真理的确定性消失了。数学王子的高斯主要从事物理和天文研究，对大地测量学和地磁学贡献非常大，由此创造了微分几何的思想。柯西是复变函数的奠基人，还是数学物理这一分支的创始人。傅里叶级数更在应用数学领域的广泛使用。虽然自然界的真理被进一步揭示，但变革却在孕育。非欧几何经过先驱们对平行公理的思辨终于被发现，从高斯到黎曼得到了统一，黎曼深刻理解了物理空间的几何。罗素关注射影几何并对几何学的基础进行了认真的思考。数学在科学中取得的巨大成就充分显示了魔力，但数学并不是一个真理体系这一认识确实振聋发聩。
?
? ? ? ?数学经历了三次大危机，无理数，微积分基础，非欧几何和非交换代数。通过19世纪后期的公理化运动，到1900年，由于本世纪数学逻辑的严密化工作，危机似乎都解除了。戴德金和康托尔为数学严密化提供了集合论这一思想。精心措辞的定义，一整套的公理和所有结论的精确证明，数学家们似乎拥有了一座稳固的大厦。在巴黎的第二届数学家大会上，庞加莱对此作了乐观的评价，而希尔伯特敏锐的指出了危机的继续。
20世纪：走向抽象和回归应用
?
19世纪末开始的集合论和公理化，开启了现代数学的抽象化和应用化之路，即为纯粹数学和应用数学。数学从算术、代数、几何和分析发展成一个庞大复杂的体系，在20世纪诞生了实变函数论（勒贝格）、泛函分析（巴拿赫）、代数拓扑学（庞加莱）和抽象代数（诺特）。集合论作为一种普遍语言进入数学的各个领域，引起积分、函数、空间等基本概念的深刻变化，也刺激了数理逻辑里直觉主义和形式主义的发展。
?
1900年，希尔伯特在巴黎数学家大会提出23个著名的数学问题，第一个是实数的连续统假设。1903年，罗素提出“理发师悖论”，引发第三次数学危机。1904年，庞加莱提出“庞加莱猜想”，2006年俄罗斯人证明。1907年，闵可夫斯基提出四维时空结构，为狭义相对论提供了数学模型。1910年，希尔伯特建立了希尔伯特空间，几何空间扩展到无穷维。1931年，哥德尔提出了公理化数学体系的不完备性定理，打破了希尔伯特公理化的梦想。1933年，柯尔莫哥洛夫建立了概率论的公理系统。1936年，菲尔兹奖第一次颁发。1944年，冯诺依曼建立博弈论。1948年，维纳著《控制论》，香农开辟信息论。1976年，计算机证明四色定理（1852年提出）。1977年，曼德勃罗建立分形几何学，提出分数维度。1978年，沃尔夫奖开始颁发。1995年，怀尔斯在谷山志村猜想基础上证明费马大定理。2003年，阿贝尔奖开始颁发。2006年，数学界确认佩雷尔曼证明了庞加莱猜想。
?
希尔伯特和庞加莱是20世纪数学无法回避的两个大师。庞加莱诞生于1854年黎曼拓展非欧几何那年。他家境显赫、智力超常却从小患病，15岁才对数学发生兴趣。他从未在数学的单个领域过多停留，整个数学都是他的殖民地，其贡献惊人，尤其是拓扑学，庞加莱猜想的证明在数学上就贡献了3个菲尔兹奖，这也是现代宇宙学的一个基本问题。他还是一个哲学家，在众多领域活跃，其科普著作为大众开启了科学之门。1862年，希尔伯特诞生于哥尼斯堡，这也是康德的故乡。希尔伯特和闵可夫斯基是同学，两人相互鼓励四分之一世纪，都成为伟大的数学家，希尔伯特活到80高龄。他的公理化方法是推动具体数学研究强有力的工具，1900年提出的23个数学问题，指引了20世纪数学发展的方向。
? ? 20世纪前30年的数学进展令人迷惑，围绕着建立数学基础，逻辑主义（罗素-怀特海系统），直觉主义（庞加莱-布劳威尔系统），形式主义（希尔伯特数论公理化）和集合论公理化主义（策梅洛-弗伦克尔系统）四大学派的方案都失败了，魔鬼和上帝并存。数学的相容性、完备性、连续统假设、选择公理都困扰着他们。直到1931，哥德尔抛出石破天惊的不完备定理，证明了相容性和完备性不可兼得，数学上也出现了不确定原理；而1963年，科恩对连续统假设、选择公理的不可判定证明，导致数学选择的多样性让人不知所措。数学这座华丽城堡的基座是一张繁复的蜘蛛网。
?
? ? ? ?与其在数学基础上耗费精力，庞加莱、克莱因、冯诺伊曼和外尔呼吁，不如回归传统，回到自然科学应用上来。数学和科学的结晶最明显是物理学，18世纪是数学和经典力学的黄金时代，19世纪是电磁学麦克斯韦方程组的建立，20世纪初数学相继在狭义（闵可夫斯基空间）、广义（黎曼几何）相对论和量子力学（希尔伯特空间）得到应用。20世纪下半叶，规范场理论和超弦理论成为连接纯粹数学和理论物理的桥梁，其数学涉及纤维丛微分几何、偏微分方程、分析拓扑、代数几何、多复变函数和微分拓扑、群论、无穷维代数、复分析、黎曼曲面模理论等。
?
20世纪初，数学引进生物学研究，开始用微分方程建立生物模型；60年代的诺贝尔生理医学奖与神经脉冲传导和视觉系统数学模型相关。伟大的DNA双螺旋结构把抽象的拓扑学引入了生物学。广泛应用的CT计算机断层扫描是建立在积分几何的基础上。1944年，冯诺依曼创立的博弈论开启了数理经济学。1950年，纳什均衡解释了博弈双方的策略和行动，1994年纳什获诺贝尔经济学奖，2015年纳什再次因非线性偏微分方程获得阿贝尔奖。
? ? ? ?金融数学、运筹学、控制论和信息论都大量应用了数学。由巴贝奇、冯诺依曼、图灵奠定的现代计算机理论成为一门独立的学科，并推动了洛伦兹混沌理论的诞生。20世纪数学的抽象化、一般化和专门化，不但让数学与科学脱离，而且让数学家之间孤立起来。只有真实的应用是数学的活力之源，数学这颗大树还是需要深深扎根于自然的沃土，才能吸取养分，任何剥离的枝条都会干枯。
? ? ? ?威滕指出杨-米尔斯方程等理论物理问题提出的数学本质，亟待二十一世纪发展新的数学来探索与理解。这也导向了新千年的七大数学难题，它们是：1黎曼假设（解析数论），2杨-米尔斯理论（抽象代数），3 P对NP问题（计算复杂性），4纳维-斯托克斯方程（微分方程），5庞加莱猜想（微分拓扑），6 BSD猜想（算术几何），7霍奇猜想（代数几何）。
? ? ?通过在自然科学应用的有效性，数学再次证明了自身的合理性。从某种意义上说，数学也是一门科学，和牛顿力学一样是一门经验科学。决定数学合理性的不是能在某一天被证明是正确的某一种基础。数学在物理世界中的应用决定了其正确性。尽管2000多年来，数学被看作一种先验知识，但实际绝非如此，数学不是绝对的、不可变更的。
2020-11-02初稿
2020-11-09再稿
作者：舒畅，?发布于“围炉行摄”公众号
参考资料：
《数学简史–确定性的消失》，莫里斯.克莱因；发展思想脉络，深度思考
《数学之书》，皮寇弗；名词解释
《数学简史》，蔡天新；编年史资料
《千年难题》，基思.德夫林；高阶科普，深度思考
《普林斯顿数学指南》全三册；数学专业参考
?
