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扯闲篇儿
为什么a×b=b×a
这周说说乘法交换率
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先回顾一下乘法的定义
乘法是满足以下两种规则的运算：
1. 对于任意自然数m，0 × m = 0
2. 对于任意自然数m和n，n' × m = n × m+ m
与以往一样，
这次的证明也分
一，证明：
对自然数m，m×0=0
∵当m=0时，0×0=0
（乘法定义1）
现假定m×0=0
∴m'×0=m×0+0=0+0
（乘法定义2）
∴m'×0=0
（加法定义1）
∴对任意自然数m，均有m×0=0
（皮亚诺公理5）
证毕
二，证明：
对任意自然数n和m，n×m'=n×m+n
当n=0时
∵0×m'=0×m+0
（乘法定义2）
∴0×m'=0
（乘法定义）
假定n×m'=n×m+n
求证n'×m'=n'×m+n'
∵n'×m'=n×m'+m'
（乘法定义2）
n×m'=n×m+n
（假设）
∴n'×m'=n×m+n+m'
∴n'×m'=n×m+(n+m)'
（加法结合律＆加法定义2）
∵n'×m+n'=n×m+n'+m
（乘法定义2）
∴n'×m'=n×m+(n+m)'
（加法结合律＆加法定义2）
∴n'×m'=n'×m+n'
∴对任意自然数n和m，n×m'=n×m+n
（皮亚诺公理5）
证毕
三，证明：
对任意自然数n和m，n×m=m×n
当n=0时，
0×m=0
（乘法定义1）
m×0=0
（已证）
∴0+m=m+0
假设n×m=m×n
求证：n'×m=m×n'
∵n'×m=n×m+m
（乘法定义2）
n×m=m×n
（假设）
∴n'×m=m×n+m
∵m×n'=m×n+m
(乘法定义2)
∴n'×m=m×n'
∴对任意自然数n、m，均有n×m=m×n
（皮亚诺公理5）
证毕
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